A combinatorial formula for fusion coefficients

Using the expansion of the inverse of the Kostka matrix in terms of tabloids as presented by Eğecioğlu and Remmel, we show that the fusion coefficients can be expressed as an alternating sum over cylindric tableaux. Cylindric tableaux are skew tableaux with a certain cyclic symmetry. When the skew shape of the tableau has a cutting point, meaning that the cylindric skew shape is not connected, or if its weight has at most two parts, we give a positive combinatorial formula for the fusion coefficients. The proof uses a slight modification of a sign-reversing involution introduced by Remmel and Shimozono. We discuss how this approach may work in general. Résumé. En utilisant l’expansion de l’inverse de la matrice Kostka en termes de tabloı̈des introduite par Eğecioğlu et Remmel, nous montrons que les coefficients de fusion peuvent être exprimés comme une somme alternée sur les tableaux cylindriques. Les tableaux cylindriques sont des tableaux qui présentent une certaine symétrie cyclique. Lorsque la forme du tableau a un point de coupure, ce qui signifie que la forme cylindrique n’est pas connecté, ou lorsque son poids a au plus deux parts, nous donnons une formule combinatoire positive des coefficients de fusion. La démonstration utilise une légère modification de l’involution qui change le signe introduite par Remmel et Shimozono. Nous discutons comment cette approche pourrait fonctionner en général.